Образцы оформления задачи / задачи / справочник по математике для начальной школы

array(3) {
  [0]=>
  array(50) {
    [0]=>
    string(113) "8b441127e049b62c526f307ec9f89f1e.jpg"
    [1]=>
    string(113) "3d7a0efa021e41e843153fcab59c6ab9.jpg"
    [2]=>
    string(113) "e836b128ad4fbf15bf8e82508448225e.jpg"
    [3]=>
    string(113) "2e522e5d3dba529bede8e419cb2604fe.jpg"
    [4]=>
    string(115) "d44cb5f0b0fca40980f811e019553918.jpeg"
    [5]=>
    string(115) "81be118c986cf31bb3e07a64667cabed.jpeg"
    [6]=>
    string(115) "923cd0b8871a62b603ebbce507948ab1.jpeg"
    [7]=>
    string(115) "705ee5b3111dc558a5bf2c6e15a825ea.jpeg"
    [8]=>
    string(115) "116b9fb041e615ac701351b88d256965.jpeg"
    [9]=>
    string(113) "e08402edea19ddcd40384a928d272c58.png"
    [10]=>
    string(115) "fc6820134817923e8ced2fabe34831ec.jpeg"
    [11]=>
    string(115) "21538d29e8642b90429dd0487616e4b4.jpeg"
    [12]=>
    string(115) "1133e4baf57288d7fc971f240c97a1cd.jpeg"
    [13]=>
    string(115) "ef16d8fbeea8e0bb3e8640022a340797.jpeg"
    [14]=>
    string(115) "9428fad1f89f66d8c9002522e26df155.jpeg"
    [15]=>
    string(113) "406d26f167ea520a4240b5ce54394f8b.png"
    [16]=>
    string(115) "b44fb3bfda64a2ebcabe5c83fcf260a9.jpeg"
    [17]=>
    string(115) "9800e68356648bdbe6b7ee55da8aa685.jpeg"
    [18]=>
    string(115) "909f7922bbee88ea0d610a91d3717811.jpeg"
    [19]=>
    string(115) "5ea39dafd83948c50d7c681958f16c1c.jpeg"
    [20]=>
    string(115) "6be338fc58370f67dd294c0cc373117c.jpeg"
    [21]=>
    string(115) "dc4fa9fe2eb37907603c885a82e5bf19.jpeg"
    [22]=>
    string(115) "fdcb26f0805b9a63ac26364d252194a8.jpeg"
    [23]=>
    string(115) "776d6f131b1d83717717cca643889c6d.jpeg"
    [24]=>
    string(115) "42961a37908731daa826faa2b0781f81.jpeg"
    [25]=>
    string(115) "129530469310c3a31f2e61aacc925c8b.jpeg"
    [26]=>
    string(115) "b48bb49807c7ff28b0e5dbd502b54905.jpeg"
    [27]=>
    string(115) "8f1285f59d3a62d5b82f9a26852c6812.jpeg"
    [28]=>
    string(115) "3648719580e0aa8cf67b28250ffd22f8.jpeg"
    [29]=>
    string(113) "e244c4f87319e0528dc70dbe040e8b8c.gif"
    [30]=>
    string(115) "6d1e3d61aaace03d825fdc505b4f172d.jpeg"
    [31]=>
    string(115) "197d3972a861d80f8d47604c00771fe4.jpeg"
    [32]=>
    string(115) "f9adecd36ef97cf660a4ee8867769ecd.jpeg"
    [33]=>
    string(115) "735412a5af3116bddc093361f7431a66.jpeg"
    [34]=>
    string(115) "0a6802c5dd5575be5c1ce46d7db3d550.jpeg"
    [35]=>
    string(115) "a98ad29fa65f0e5a8555c83079e9aea1.jpeg"
    [36]=>
    string(113) "ca2ed8b2de974a53eee277a451c2a241.png"
    [37]=>
    string(115) "fd5cdac5aa0eca875208c1f6fb07e3e5.jpeg"
    [38]=>
    string(115) "7e8f0cf7e64d075ec3a19ac6c28af6e9.jpeg"
    [39]=>
    string(113) "b640d03d6bc64f14023a371b0df2721c.png"
    [40]=>
    string(115) "d1498559188e3b52ea79739a67c44c22.jpeg"
    [41]=>
    string(113) "81a499e8f9fcb0dedd770c3edc635345.png"
    [42]=>
    string(115) "d466416e7aa48e8fd2552d3e8f1539a5.jpeg"
    [43]=>
    string(115) "0ea86c631d59c0268786d9b77443a539.jpeg"
    [44]=>
    string(115) "16e29c77f273024d6b52edca570e3fbd.jpeg"
    [45]=>
    string(115) "8db27a6e1ec64bba9bdde3ded4ffa1e8.jpeg"
    [46]=>
    string(115) "2108c5cf7583e11f4a0f74f1df56ddae.jpeg"
    [47]=>
    string(115) "df07493c47b7c421ac35d188d7d5be12.jpeg"
    [48]=>
    string(113) "25db897af20dc432182d3da94e35c614.png"
    [49]=>
    string(115) "d236ae42a8e5ed20f7faed3de33994d0.jpeg"
  }
  [1]=>
  array(50) {
    [0]=>
    string(62) "/wp-content/uploads/8/b/4/8b441127e049b62c526f307ec9f89f1e.jpg"
    [1]=>
    string(62) "/wp-content/uploads/3/d/7/3d7a0efa021e41e843153fcab59c6ab9.jpg"
    [2]=>
    string(62) "/wp-content/uploads/e/8/3/e836b128ad4fbf15bf8e82508448225e.jpg"
    [3]=>
    string(62) "/wp-content/uploads/2/e/5/2e522e5d3dba529bede8e419cb2604fe.jpg"
    [4]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/d/4/4/d44cb5f0b0fca40980f811e019553918.jpeg"
    [5]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/8/1/b/81be118c986cf31bb3e07a64667cabed.jpeg"
    [6]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/9/2/3/923cd0b8871a62b603ebbce507948ab1.jpeg"
    [7]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/7/0/5/705ee5b3111dc558a5bf2c6e15a825ea.jpeg"
    [8]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/1/1/6/116b9fb041e615ac701351b88d256965.jpeg"
    [9]=>
    string(62) "/wp-content/uploads/e/0/8/e08402edea19ddcd40384a928d272c58.png"
    [10]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/f/c/6/fc6820134817923e8ced2fabe34831ec.jpeg"
    [11]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/2/1/5/21538d29e8642b90429dd0487616e4b4.jpeg"
    [12]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/1/1/3/1133e4baf57288d7fc971f240c97a1cd.jpeg"
    [13]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/e/f/1/ef16d8fbeea8e0bb3e8640022a340797.jpeg"
    [14]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/9/4/2/9428fad1f89f66d8c9002522e26df155.jpeg"
    [15]=>
    string(62) "/wp-content/uploads/4/0/6/406d26f167ea520a4240b5ce54394f8b.png"
    [16]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/b/4/4/b44fb3bfda64a2ebcabe5c83fcf260a9.jpeg"
    [17]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/9/8/0/9800e68356648bdbe6b7ee55da8aa685.jpeg"
    [18]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/9/0/9/909f7922bbee88ea0d610a91d3717811.jpeg"
    [19]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/5/e/a/5ea39dafd83948c50d7c681958f16c1c.jpeg"
    [20]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/6/b/e/6be338fc58370f67dd294c0cc373117c.jpeg"
    [21]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/d/c/4/dc4fa9fe2eb37907603c885a82e5bf19.jpeg"
    [22]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/f/d/c/fdcb26f0805b9a63ac26364d252194a8.jpeg"
    [23]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/7/7/6/776d6f131b1d83717717cca643889c6d.jpeg"
    [24]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/4/2/9/42961a37908731daa826faa2b0781f81.jpeg"
    [25]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/1/2/9/129530469310c3a31f2e61aacc925c8b.jpeg"
    [26]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/b/4/8/b48bb49807c7ff28b0e5dbd502b54905.jpeg"
    [27]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/8/f/1/8f1285f59d3a62d5b82f9a26852c6812.jpeg"
    [28]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/3/6/4/3648719580e0aa8cf67b28250ffd22f8.jpeg"
    [29]=>
    string(62) "/wp-content/uploads/e/2/4/e244c4f87319e0528dc70dbe040e8b8c.gif"
    [30]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/6/d/1/6d1e3d61aaace03d825fdc505b4f172d.jpeg"
    [31]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/1/9/7/197d3972a861d80f8d47604c00771fe4.jpeg"
    [32]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/f/9/a/f9adecd36ef97cf660a4ee8867769ecd.jpeg"
    [33]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/7/3/5/735412a5af3116bddc093361f7431a66.jpeg"
    [34]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/0/a/6/0a6802c5dd5575be5c1ce46d7db3d550.jpeg"
    [35]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/a/9/8/a98ad29fa65f0e5a8555c83079e9aea1.jpeg"
    [36]=>
    string(62) "/wp-content/uploads/c/a/2/ca2ed8b2de974a53eee277a451c2a241.png"
    [37]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/f/d/5/fd5cdac5aa0eca875208c1f6fb07e3e5.jpeg"
    [38]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/7/e/8/7e8f0cf7e64d075ec3a19ac6c28af6e9.jpeg"
    [39]=>
    string(62) "/wp-content/uploads/b/6/4/b640d03d6bc64f14023a371b0df2721c.png"
    [40]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/d/1/4/d1498559188e3b52ea79739a67c44c22.jpeg"
    [41]=>
    string(62) "/wp-content/uploads/8/1/a/81a499e8f9fcb0dedd770c3edc635345.png"
    [42]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/d/4/6/d466416e7aa48e8fd2552d3e8f1539a5.jpeg"
    [43]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/0/e/a/0ea86c631d59c0268786d9b77443a539.jpeg"
    [44]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/1/6/e/16e29c77f273024d6b52edca570e3fbd.jpeg"
    [45]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/8/d/b/8db27a6e1ec64bba9bdde3ded4ffa1e8.jpeg"
    [46]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/2/1/0/2108c5cf7583e11f4a0f74f1df56ddae.jpeg"
    [47]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/d/f/0/df07493c47b7c421ac35d188d7d5be12.jpeg"
    [48]=>
    string(62) "/wp-content/uploads/2/5/d/25db897af20dc432182d3da94e35c614.png"
    [49]=>
    string(63) "/wp-content/uploads/d/2/3/d236ae42a8e5ed20f7faed3de33994d0.jpeg"
  }
  [2]=>
  array(50) {
    [0]=>
    string(36) "8b441127e049b62c526f307ec9f89f1e.jpg"
    [1]=>
    string(36) "3d7a0efa021e41e843153fcab59c6ab9.jpg"
    [2]=>
    string(36) "e836b128ad4fbf15bf8e82508448225e.jpg"
    [3]=>
    string(36) "2e522e5d3dba529bede8e419cb2604fe.jpg"
    [4]=>
    string(37) "d44cb5f0b0fca40980f811e019553918.jpeg"
    [5]=>
    string(37) "81be118c986cf31bb3e07a64667cabed.jpeg"
    [6]=>
    string(37) "923cd0b8871a62b603ebbce507948ab1.jpeg"
    [7]=>
    string(37) "705ee5b3111dc558a5bf2c6e15a825ea.jpeg"
    [8]=>
    string(37) "116b9fb041e615ac701351b88d256965.jpeg"
    [9]=>
    string(36) "e08402edea19ddcd40384a928d272c58.png"
    [10]=>
    string(37) "fc6820134817923e8ced2fabe34831ec.jpeg"
    [11]=>
    string(37) "21538d29e8642b90429dd0487616e4b4.jpeg"
    [12]=>
    string(37) "1133e4baf57288d7fc971f240c97a1cd.jpeg"
    [13]=>
    string(37) "ef16d8fbeea8e0bb3e8640022a340797.jpeg"
    [14]=>
    string(37) "9428fad1f89f66d8c9002522e26df155.jpeg"
    [15]=>
    string(36) "406d26f167ea520a4240b5ce54394f8b.png"
    [16]=>
    string(37) "b44fb3bfda64a2ebcabe5c83fcf260a9.jpeg"
    [17]=>
    string(37) "9800e68356648bdbe6b7ee55da8aa685.jpeg"
    [18]=>
    string(37) "909f7922bbee88ea0d610a91d3717811.jpeg"
    [19]=>
    string(37) "5ea39dafd83948c50d7c681958f16c1c.jpeg"
    [20]=>
    string(37) "6be338fc58370f67dd294c0cc373117c.jpeg"
    [21]=>
    string(37) "dc4fa9fe2eb37907603c885a82e5bf19.jpeg"
    [22]=>
    string(37) "fdcb26f0805b9a63ac26364d252194a8.jpeg"
    [23]=>
    string(37) "776d6f131b1d83717717cca643889c6d.jpeg"
    [24]=>
    string(37) "42961a37908731daa826faa2b0781f81.jpeg"
    [25]=>
    string(37) "129530469310c3a31f2e61aacc925c8b.jpeg"
    [26]=>
    string(37) "b48bb49807c7ff28b0e5dbd502b54905.jpeg"
    [27]=>
    string(37) "8f1285f59d3a62d5b82f9a26852c6812.jpeg"
    [28]=>
    string(37) "3648719580e0aa8cf67b28250ffd22f8.jpeg"
    [29]=>
    string(36) "e244c4f87319e0528dc70dbe040e8b8c.gif"
    [30]=>
    string(37) "6d1e3d61aaace03d825fdc505b4f172d.jpeg"
    [31]=>
    string(37) "197d3972a861d80f8d47604c00771fe4.jpeg"
    [32]=>
    string(37) "f9adecd36ef97cf660a4ee8867769ecd.jpeg"
    [33]=>
    string(37) "735412a5af3116bddc093361f7431a66.jpeg"
    [34]=>
    string(37) "0a6802c5dd5575be5c1ce46d7db3d550.jpeg"
    [35]=>
    string(37) "a98ad29fa65f0e5a8555c83079e9aea1.jpeg"
    [36]=>
    string(36) "ca2ed8b2de974a53eee277a451c2a241.png"
    [37]=>
    string(37) "fd5cdac5aa0eca875208c1f6fb07e3e5.jpeg"
    [38]=>
    string(37) "7e8f0cf7e64d075ec3a19ac6c28af6e9.jpeg"
    [39]=>
    string(36) "b640d03d6bc64f14023a371b0df2721c.png"
    [40]=>
    string(37) "d1498559188e3b52ea79739a67c44c22.jpeg"
    [41]=>
    string(36) "81a499e8f9fcb0dedd770c3edc635345.png"
    [42]=>
    string(37) "d466416e7aa48e8fd2552d3e8f1539a5.jpeg"
    [43]=>
    string(37) "0ea86c631d59c0268786d9b77443a539.jpeg"
    [44]=>
    string(37) "16e29c77f273024d6b52edca570e3fbd.jpeg"
    [45]=>
    string(37) "8db27a6e1ec64bba9bdde3ded4ffa1e8.jpeg"
    [46]=>
    string(37) "2108c5cf7583e11f4a0f74f1df56ddae.jpeg"
    [47]=>
    string(37) "df07493c47b7c421ac35d188d7d5be12.jpeg"
    [48]=>
    string(36) "25db897af20dc432182d3da94e35c614.png"
    [49]=>
    string(37) "d236ae42a8e5ed20f7faed3de33994d0.jpeg"
  }
}

Правило встречается в следующих упражнениях:

1 класс

Страница 19,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2

Страница 24,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2

Страница 25,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2

Страница 27,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2

Страница 28,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2

Страница 30,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2

Страница 31,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2

Страница 32,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2

Страница 44,
Моро, Волкова, Степанова, Учебник, часть 2

Страница 6,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

2 класс

Страница 62. Вариант 1. № 3,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 15,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 17,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 63,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 88,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 93,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 42,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 59,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 70,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 73,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

3 класс

Страница 63,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 72,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 35. Вариант 2. № 3,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 10,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 43,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 77,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 78,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 5,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 49,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 66,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

4 класс

Страница 10,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 12,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 49,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 86,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 88,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 79,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 28. Вариант 1. Проверочная работа 3,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 45,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 50,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 75,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

5 класс

Упражнение 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 107,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 137,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 166,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 248,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 250,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 478,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 482,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 486,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 487,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Задание 366,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 367,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 372,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 383,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 418,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 424,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 428,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 435,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 436,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 449,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Решение задач онлайн через камеру телефона

С каждым учебным годом математика усложняет задачи для учащихся. Становится всё труднее решать примеры быстро и практически не задумываясь. Появляются новые темы, функции, уравнения и прочее. Чтобы со всем этим справиться при вычислении примеров с верным решением, используйте «Камеру Калькулятор» на Андроид.

Это один из лучших способов решать примеры автоматически, применяя лишь камеру мобильного телефона. Пользователю нужно сфотографировать пример, чтобы решить его.

Возможности приложения:

В приложении есть умный и удобный калькулятор для решения любых задач по предмету;
Встроен научный калькулятор со всеми инструментами, которые есть в классической версии;
Отдельно реализован калькулятор уравнений.

Также «Камера Калькулятор» станет незаменимым помощником для студентов разных профессий. Приложение не займёт много памяти в мобильном телефоне и может работать беззвучно.

«Математический сканер по фото» — поможет вычислить любой пример

Домашнее задание по разным предметам иногда заставляет ученика с любой успеваемости зайти в тупик. Пример может сильно отличаться от тех, которые были рассмотрены в классе. Чтобы решить его, придется искать решение в Интернете вручную. Или просить более опытных людей помочь с этим заданием. Есть ещё один вариант выхода с этого положения — воспользоваться онлайн сканером «Математический сканер по фото» на Андроид.

Порядок действий для проведения вычислений онлайн:

Работать сканер может в двух режимах: по фотографии и при вводе условий вручную;
Чтобы сфотографировать пример, наведите камеру на условие и нажмите кнопку создания фото;
На следующем экране появится решение этой задачи с несколькими действиями. Чтобы больше узнать о данном примере, просмотрите внимательно все его этапы решения. И попробуйте разобраться самостоятельно.

Матрицы и определители

Пример 1. Сумма матриц

Дано:
Матрицы A и B., Найти:
Сумму матриц A + B = C.C- ?

Решение:
Для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.
Таким образом, суммой двух матриц A и B является матрица:

Ответ:

Пример 2. Умножение матрицы на число

Дано:
Матрица
Число k=2.

Найти:
Произведение матрицы на число: A × k = BB — ?

Решение:
Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число.
Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица:

Ответ:

Пример 3. Умножение матриц

Дано:
Матрица ;
Матрица .

Найти:
Произведение матриц: A × B = CC — ?

Решение:
Каждый элемент матрицы С = A × B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Строки матрицы А умножаем на столбцы матрицы В и получаем:

Ответ:

Пример 4. Транспонирование матрицы

Дано:
Матрица .

Найти:
Найти матрицу транспонированную данной.AT — ?

Решение:
Транспонирование матрицы А заключается в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через AT

Ответ:

Пример 5. Обратная матрица

Дано:
Матрица .

Найти:
Найти обратную матрицу для матрицы A.A-1 — ?

Решение:
Находим det A и проверяем det A ≠ 0:. det A = 5 ≠ 0.

Составляем вспомогательную матрицу AV из алгебраических дополнений A_ij: .

Транспонируем матрицу AV:.

Каждый элемент, полученной матрицы, делим на на det A:

Ответ:

Пример 6. Ранг матрицы

Дано:
Матрица .

Найти:
Ранг матрицы A.r(A) — ?

Решение:
Ранг матрицы A — это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров M_k этой матрицы. Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.

Вычислим ранг матрицы, применив .

M3₂≠0;

Ответ: r(A) = 2

Пример 7. Определитель квадратной матрицы

Дано:
Матрица .

Найти:
Определитель |A| матрицы A.|A| — ?

Решение:
Каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие число, которое называется ее определителем и обозначается det А или |А|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется через ее элементы, по следующей формуле:
Тогда, для данной в примере матрицы A, определитель |A| будет равен:

Ответ: |A| = 16.

Пример 8. Минор и алгебраическое дополнение

Дано:
Матрица .

Найти:
Минор и алгебраическое дополнение элемента a₂₁ определителя |A| матрицы A.Δ₂₁ — ? A₂₁ — ?

Решение:
Запишем определитель матрицы A: .

Минор элемента a₂₁ определителя |A|- это определитель, который получится из данного вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используют обозначение Δ₂₁.

Алгебраическое дополнение A₂₁ элемента a₂₁ в определителе — это число, которое вычисляется по правилу: A_ij = (-1)i+j · Δ_ij, где Δ_ij — соответствующий минор. Тогда, подставив данные в формулу, получим:A₂₁ = (-1)2+1 · (-6) = 6.

Ответ: Δ₂₁ = -6; A₂₁ = 6.

Формат ввода:

Действие	Обозначение	Пример
Переменные и знаки
Сумма (сложение)	N+N	3+5
Разность (вычитание)	N-N	5-3
Произведение (умножение)	N*N	4*5
Частное (деление)	N/N	8/2
Дествия с группой чисел	(N)	((4-2)*(3+5))/2
Возведение в степень	N^N	(2+3)^3
Извлечь корень	N^(N/N)	9^(1/2)
Знак меньше	N<N	x+5
Знак больше	N>N	15-x>8
Знак равно	N=N	x+7=10
Знак меньше либо равно	N<=N	x+45
Знак больше либо равно	N>=N	43-x>=41
Число π	Pi	2Pix=10Pi
Экспонента	E	E*(x^2)/2
Знак бесконечности	inf	1/inf
Логарифм числа “x” по отношению к “a”	Log	Log+Log
Логарифм натуральный числа “x”	Log	Log
Косинус числа “x”	cos или Cos	cos
Синус числа “x”	sin или Sin	sin
Тангенс числа “x”	tan или Tan	tan
Котангенс числа “x”	cot или Cot	cot
Секанс числа “x”	sec или Sec	sec
Косеканс числа “x”	csc или Csc	csc
Арккосинус числа “x”	ArcCos	ArcCos
Арксинус числа “x”	ArcSin	ArcSin[1/2]
Арктангенс числа “x”	ArcTan	ArcTan
Арккотангенс числа “x”	ArcCot	ArcCot[1/0]
Арксеканс числа “x”	ArcSec	ArcSec
Арккосеканс числа “x”	ArcCsc	ArcCsc
Гиперболический косинус числа “x”	cosh или Cosh	cosh
Гиперболический синус числа “x”	sinh или Sinh	sinh
Гиперболический тангенс числа “x”	tanh или Tanh	tanh
Гиперболический котангенс числа “x”	coth или Coth	coth
Гиперболический секанс числа “x”	sech или Sech	sech
Гиперболический косеканс числа “x”	csch или Csch	csch
Гиперболический арккосинус числа “x”	ArcCosh	ArcCosh
Гиперболический арксинус числа “x”	ArcSinh	ArcSinh
Гиперболический арктангенс числа “x”	ArcTanh	ArcTanh
Гиперболический котангенс числа “x”	ArcCoth	ArcCoth
Гиперболический арксеканс числа “x”	ArcSech	ArcSech
Гиперболический арккосеканс числа “x”	ArcCsch	ArcCsch
Модуль числа “a”	abs	abs+5

Запись различных уравнений
Линейное уравнение	2x^2-8x+8=0
Неравенство	x^3-7>=1
Система уравнений	2x-7y=0&&3x+(1/2)y=11

Построить график
График функции f(x) на отрезке x ∈	Plot
Несколько графиков на одном	Plot

Математический анализ
Пределы	Limit[n^2/(n^3 + 5*n), n -> Infinity]
Производные	D, x]
	D[x^3/y^4), {x,2}]
Неопределенные интегралы	Integrate/x², x]
Определенные интегралы	Integrate/x^3, {x,1,Infinity}]
Дифференциальные уравнения	x”+x=0
Задачи Коши	x”+x=0, x=1, x’=3
Системы дифференциальных уравнений	{x’-y’=2, x’+2y’=-4}

Как правильно научить ребёнка решать задачи

Если ребёнок только начинает осваивать навык решения задач, приучите его придерживаться определённого алгоритма.

1. Внимательно читаем условия

Лучше вслух и несколько раз. После того как ребёнок прочитал задачу, задайте ему вопросы по тексту и убедитесь, что ему понятно, что вычислять нужно количество грибов, а не огурцов. Старайтесь не нервничать, если ребёнок упустил что-то из вида. Дайте ему разобраться самостоятельно. Если в условиях упоминаются неизвестные ребёнку реалии — объясните, о чём идёт речь.

Особую сложность представляют задачи с косвенным вопросом, например:

«Один динозавр съел 16 деревьев, это на 3 меньше, чем съел второй динозавр. Сколько деревьев съел второй динозавр?». Невнимательно прочитав условия, ребёнок посчитает 16−3, и получит неправильный ответ, ведь эта задача на самом деле требует не вычитания, а сложения.

2. Делаем описание задачи

В решении некоторых задач поможет представление данных в виде схемы, графика или рисунка. Чем ярче сложится образ, тем проще будет его осмыслить. Наглядная запись позволит ребёнку не только быстро разобраться в условиях задачи, но и поможет увидеть связь между ними. Часто план решения возникает уже на этом этапе.

Ребёнок должен чётко понимать значения словесных формул и знать, какие математические действия им соответствуют.

Формы краткой записи условий задач / shkola4nm.ru‍

3. Выбор способа решения

Наглядно записанное условие должно подтолкнуть ребёнка к нахождению решения. Если этого не произошло, попробуйте задать наводящие вопросы, проиллюстрировать задачу при помощи окружающих предметов или разыграть сценку. Если один из способов объяснения не сработал — придумайте другой. Многократное повторение одного и того же вопроса неэффективно.

Все, даже самые сложные, математические задачи сводятся к принципу «из двух известных получаем неизвестное». Но для нахождения этой пары чисел часто требуется выполнить несколько действий, то есть разложить задачу на несколько более простых.

Ребёнок должен знать способы получения неизвестных данных из двух известных:

слагаемое = сумма − слагаемое
вычитаемое = уменьшаемое − разность
уменьшаемое = вычитаемое + разность
множитель = произведение ÷ множитель
делитель = делимое ÷ частное
делимое = делитель × частное

После того как план действий найден, подробно запишите решение. Оно должно отражать всю последовательность действий — так ребёнок сможет запомнить принцип и пользоваться им в дальнейшем.

4. Формулировка ответа

Ответ должен быть полным и точным. Это не просто формальность: обдумывая ответ, ребёнок привыкает серьёзно относиться к результатам своего труда. А главное — из описания должна быть понятна логика решения.

Задание из базового курса алгебры домашней онлайн-школы «Фоксфорда», 7 класс‍

Одна из самых распространённых ошибок — представление в ответе не тех данных, о которых спрашивалось изначально. Если такая проблема возникает, нужно вернуться к первому пункту.

5. Закрепление результата

Не стоит думать, что выполнив задание один раз, ребёнок сразу научится решать задачи. Полученный результат нужно зафиксировать. Для этого подумайте над решённой задачей ещё немного: предложите ребёнку поискать другой способ решения или спросите, как изменится ответ при изменении того или иного параметра в условии.

Важно, чтобы у ребёнка сложился чёткий алгоритм рассуждений и действий в каждом из вариантов.

В нашей онлайн-школе, помимо уроков, ученики могут закреплять свои знания на консультациях в формате открытых часов, где учителя разбирают темы, вызвавшие затруднения, показывают необычные задачи и различные способы их решения.

Математика 1 класс

В первом классе проходят раздел математики – арифметику. Арифметика – раздел математики, работающий с числами и вычислениями (действиями с числами).

В первом классе, как правило, проходят первые две самые простые операции с числами: сложение, вычитание.

Сложение – это арифметическое действие, в процессе которого складываются два числа, а их результатом будет новое – третье.

Формула сложения выражается так: a + b = c.

Вычитание – это арифметическое действие, в процессе которого из первого числа вычитается второе число, а итогом будет третье.

Формула сложения выражается так: a – b = c.

Операции производятся с однозначными цифрами. Редко встречаются двузначные. Потому что нужно, чтобы дети освоились, поняли технику.

Онлайн-калькулятор дробей по изображению

Нередко знакомство с дробями в школе у подростков вызывает шок. Во всех начальных школах по программе они следуют сразу же за обычной и более понятной все математикой. Детям бывает не легко понять, как можно целое число разделить на 20 частей.

Уравнения с дробями

Материал усваивается со временем. А для решения более трудных примеров можно применять «Калькулятор дробей». С его помощью можно решать проценты со скобками, десятичные дроби. Каждый пример приводится пошагово. Поэтому он поможет понять, как такие задачи могут быть выполнены.

Калькулятор дробей

Калькулятором дробей можно решать как простые, так и сложные примеры с преобразованием дробей в десятичные числа по фотографии. Показывая варианты выполнения примеров, приложение делает это в простой и понятной форме.

В примерах поддерживаются скобки и задания с процентами. В программе можно работать с большими числами, будет полезен для школьников 5 и 6 классов. Не дробные (в периоде) результаты показывает по аналогии с калькулятором.

Кроме этого интерфейс приложения может быть настроен пользователем. Выбирайте темы для калькулятора и изменяйте расположение кнопок управления. Калькулятор может быть установлен на устройства Android 4.1 или выше.

Системы линейных уравнений

Пример 9. Метод Крамера

Дано:
Система линейных уравнений

Найти:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.x₁, x₂, x₃— ?

Составляем матрицу B из свободных членов данной системы уравнений — матрицу-столбец свободных членов:

Решаем пример методом Крамера, используя .

Условие Δ ≠ 0 выполняется, значит система совместна и определена, причём единственное решение вычисляется по формулам Крамера:

Δ₁ — 1-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 1-го столбца на столбец свободных членов:

Δ₂ — 2-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 2-го столбца на столбец свободных членов:

Δ₃ — 3-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 3-го столбца на столбец свободных членов:

Подставив полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:

Ответ: .

Пример 10. Метод Гаусса

Дано:
Система линейных уравнений

Найти:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.x₁, x₂, x₃— ?

Решение:
Составляем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей:
(A|B)=

Приведём расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатому виду.

Из второй строки вычитаем первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~

Из третьей строки вычитаем первую строку, умноженную на два:
(A|B)~

Из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на :
(A|B)~

Полученной диагональной матрице соответствует эквивалентная система:

Ответ: .

Классы математик (разряды и классы)

Чтобы детям было проще ориентироваться в числах, да и не только детям, было придумано разделение числа на классы и разряды.

Представим число 148951784296, и поделим его по три цифры: 148 951 784 296. Итак, справа налево: 296 – класс единиц, 784 – класс тысяч, 951 – класс миллионов, 148 – класс миллиардов. В свою очередь, в каждом классе 3 цифры имеют свой разряд. Справа налево: первая цифра – единицы, вторая цифра – десятки, третья – сотни. Например, класс единиц – 296, 6 – единицы, 9 – десятки, 2 – сотни.

Такое разделение действительно очень удобно и легко запоминается. Гораздо проще в ходе обучения детей математике, рассказывая о какой-нибудь операции, говорить, как складывать столбиком, например. Потому что в ходе рассказа можно называть числа по разрядам и классам и так будет намного понятнее ученику, нежели просто называть цифрой.

Как решать задачи с приложением Photomath

Приложение работает за счет технологии оптического распознавания символов. Просто наведите камеру смартфона на математический пример и немедленно получите решение. Анимированные туториалы, интерактивные графики, пошаговый разбор каждой задачи – все это поможет значительно поднять текущий уровень знаний. Осваивайте математику самостоятельно вместе с программой Photomath.

Приложение разработано с целью продвижения конкретных технологий. Специалисты продолжают совершенствовать алгоритмы Photomath и периодически добавляют новые возможности.

Деньги снимаются со счета пользователей за 24 часа до истечения текущей подписки. Если вы хотите этого избежать, заранее откажитесь от автоматического обновления. Чтобы это сделать, зайдите в настройки своего Гугл или Эппл аккаунта и снимите нужную галочку с Photomath.

Как пользоваться приложением, которое решает задачи

Чтобы загрузить на свой телефон или планшет данную программу, посетите ее страницу на App Store и в онлайн-магазине Гугл Плэй. Photomath исправно работает даже при отсутствии сетевого подключения.

Как пользоваться Photomath:

Скачайте приложение на планшет или телефон, а затем установите. Можно также открывать его с помощью BlueStacks на компьютере, но задействовать камеру при этом не получится.
Авторизуйтесь, указав свой возраст и статус. Напишите, являетесь вы учеником или преподавателем.
Включите приложение.
Запустится камера с небольшой рамкой в центре экрана. Наведите ее на нужный пример.
Если он не помещается в рамку, то скорректируйте ее размеры.
Снятый на камеру пример отобразится в сером блоке, расположенном ниже активного окна.
Результат решения появится в красном блоке, который находится под отсканированной задачей.
В его правой части вы увидите белые стрелки. Нажмите на них, чтобы разобраться в примере.
На белом фоне появится список методов решения.
Листайте вниз, чтобы увидеть больше подробностей.
Разверните любой из шагов, тапнув пальцем по строчке, в которой оно находится. Перед вами появится блок с подробным разбором перехода от одного этапа к другому.
В самом верху есть кнопка «Показать другие методы». Нажмите на нее.
Выберите интересующий вас метод решения. Тапните на него, чтобы увидеть весь алгоритм.
Если необходимо изменить часть примера, перейдите на вкладку «Калькулятор». Здесь есть возможность добавить проценты, число Пи, дроби, степени, тригонометрические функции, корни, скобки и другие элементы.
После корректировки результат будет автоматически пересчитан.
Чтобы вернуться к предыдущим вариантам написания задач, перейдите на вкладку «Блокнот».

Здесь под пунктом «История» лежит перечень всех примеров, недавно введенных пользователем. Содержимое раздела можно просмотреть, перейдя к любой выбранной задаче.

Чтобы очистить историю, нажмите на иконку в виде мусорной корзины. Она находится справа от надписи «История».

Перейдите в раздел «Решения». Чуть ниже и правее вы увидите 3 вертикально поставленных точки. Нажмите на них, чтобы добавить пример в «Избранное».

Попробуйте вызвать главное меню. Отсюда можно изменить язык и получить справочную информацию о работе приложения.

Подробнее: Решение задач по фото по Геометрии и Физике.

Mathway – решит примеры по вашей фотографии

На очереди для обзора ещё одна умная и полезное приложение — Mathway. Оно доступно для телефонов Андроид в Google Play и устройств на базе IOS.

Это приложение решает задачи любой сложности. Его разработкой занимались опытные программисты. В нём есть возможность решить примеры по картинке, задачи и уравнения любой сложности: от простейшей алгебры, до полноценных, комплексных расчётов. Поэтому программу могут использовать не только школьники, но и учёные, студенты, преподаватели.

Пояснение решения

Для того, чтобы воспользоваться программой, нужно ввести в ней условия задания или создать средствами камеры фотографию примера. Среди возможностей программы в меню можно найти:

Начальная математика;
Алгебра;
Тригонометрия;
Решение уравнений по фото
Конечная математика;
Построение графиков;
Начало анализа;
Математический анализ;
Химия;
Статистика.

Это приложение уже было отмечено и одобрено многими популярными западными изданиями, такими как «Новости Yahoo!», «CNET», «Lifehack» и другими. Программа очень проста для пользователей. И в то же время бесконечна сложна со стороны технической реализации.

Меню приложения

В одном продукте разместилось большое количество полезных инструментов, которые работают автоматически. Стоит отметить что в ней также встроен отличный алгоритм распознавания объектов на фотографии.

Mathway поможет разобраться в химии, матанализе, статистике, линейной алгебре и тригонометрии

Данное бесплатное приложение представлено и в маркете Гугл Плэй, и на страницах App Store.

Это мобильная версия компьютерной программы Mathway. Минималистичный интерфейс реализован по аналогии с оригинальным софтом. Работа с приложением проходит в режиме чата с виртуальным собеседником. Он комментирует добавленные пользователем примеры, дополняя решение задач развернутыми пояснениями.

Как работать с помощником Mathway:

Откройте диалог.
Введите вручную пример или захватите его камерой на вашем смартфоне.
Отправьте боту.
Получите готовое решение и исчерпывающие комментарии.

В боковом меню можно свободно выбирать любой из 10 разделов. Каждый из них снабжен собственным калькулятором, содержащим специфические символы. Если ответ к задаче вам не понравится, попробуйте выбрать другой вариант решения.

Как решить пример по фотографии онлайн

На помощь в подобных случаях приходит интернет. Порой случается, что сам преподаватель не может найти правильный подход. Запуская тем самым образовательную неграмотность своих подопечных. Очень досадно, когда ученик пропускает школьную программу по причине длительного заболевания. Тогда догнать прогресс становится куда сложнее. Кто-то и вовсе опускает руки, принимая плохую оценку.

Многие поддержат мнение о том, что простое списывание – гиблое дело, не приносящее никаких полезных плодов. На ступень выше идут «сайты-помогаторы», но и они способны ошибаться. Есть факт того, что школьников заведомо обманывают, как бы «отучая» обращаться к Всемирной Сети. Более честным и верным вариантом, например, решение примеров по фото онлайн. Это именно решение, а не работа по копированию чужого умственного труда.

Лучше всего доверять искусственному интеллекту. В систему забиты все пути решений тех или иных арифметических, алгебраических примеров. Машинный робот не может ошибаться; выполняет пошагово, подробно объясняя каждый шаг, при этом руководствуясь эталонными формулами.

На рынке подобного программного обеспечения лидируют несколько приложений:

PhotoMath
PocketTeacher
Mathway.

Большой плюс последних двух софтов – имеется адаптация и для смартфонов, и для персональных компьютеров. Тогда предоставлять фотографию куда проще. При этом можно находить параллельно дополнительную информацию без помех в виде «дополнительного окна».

«Контрольная работа» — быстрое решение сложных задач онлайн

Быстро и точно примеры может решать сервис «Контрольная работа» www.kontrolnaya-rabota.ru/s. Всё что нужно пользователю — это ввести условие в пустую строку. Сервис удобно использовать на мобильном телефоне через браузер. Или на компьютере во время выполнения домашнего задания.
Чтобы получить большой список калькуляторов для разных условий, на главной странице необходимо выбрать кнопку «Начать сейчас».

Из перечня перед вами можно выбрать:

Решение уравнений и упрощённых выражений онлайн с возможностью вводить условия;
Калькулятор для решения неравенств с отображением графиков решения на экране;
Поиск пределов в сервисе — найдите его для любой функции. Применяются решения по Лопиталю;
На сайте есть производные функций, графики. Вы сможете построить свой график в пространстве;
Калькулятор для решения неравенств;
Доступны практически любые действия с неравенствами: умножение, возведение в степень, ранг матрицы, обратные матрицы и другое;
На сайте есть возможность решить со своими условиями комплексные числа, геометрическую интерпретацию.

Кроме этого на сайте ещё множество возможностей, связанных с решением математических задач и условий по другим предметам. Можно найти таблицы интегралов, Брадиса, таблицы производных. Примеры из высшей математики и полезные и интересные калькуляторы. Если у вас возникнут трудности, в нижней части списка с возможностями находится подробная инструкция, как пользоваться тем или иным инструментом. Представлено множество текстов, описывающих не только работу калькуляторов и таблиц, но и с рассмотрением конкретных примеров.

Математика 6 класс

В 6ом классе появляется тема преобразования дробей в строчную запись. Что это значит? Например, дана дробь ½, она будет равна 0,5. ¼ = 0.25.

Примеры могут составляться в таком стиле: 0.25+0.73+12/31.

Примеры для тренировки:

Задание №1:

Задание №2:

Задание №3:

В двух классах в общем было 92 стула. Из первого класса перенесли 16 стульев во второй класс и потом количество их уровнялось. Сколько стульев было в первом и втором классе изначально?
В двух ящиках лежало 240 кг яблок. Из второго ящика в первый переложили 18 кг яблок. После количество яблок в первом и втором ящике уровнялось. Сколько килограмм яблок было изначально в первом и втором ящике.
Автомобилист выехал из города в деревню со скоростью равно 11,5 км/ч. Спустя 2,4 часа оттуда же и в том же направлении выехал автобус со скоростью 46 км/ч. Спустя какое время автобус догонит автомобиль?

Аналитическая геометрия

Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору .Дано:
Координаты точек: M(2, 5, -3), M₁(7, 8, -1) и M₂(9, 7, 4).Найти:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору .

Решение:
В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор = {x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x, y, z) перпендикулярно вектору = {A, B, C}, имеет вид .

Составляем уравнение плоскости с нормальным вектором = {2, -1, 5}, проходящей через точку M(2, 5, -3):.

Ответ: .

Пример 17. Уравнение плоскости «в отрезках»

Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость?Дано:
Уравнение плоскости: 2x – 4y + 6z – 12 = 0.Найти:
Отрезки, которые отсекает на осях координат плоскость.a, b, c — ?

Решение:
Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»:

Уравнение — это уравнение плоскости «в отрезках». Параметры представляют собой координаты точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (с точностью до знака) отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях.

Применяя вышеприведенное к уравнению 2x – 4y + 6z –12 = 0, получим:.

Отрезки, отсекаемые на осях, равны a = 6, b =−3, c = 2.
Отрицательный знак перед b показывает, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.

Задачи по теме «Уравнение плоскости в пространстве»

Задача 1. Составить канонические уравнения прямой:

Решение:
Для составления канонического или параметрического уравнения прямой в пространстве, нужно знать координаты какой-либо точки, лежащей на этой на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного прямой.
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n₁ и n₂ к данным плоскостям. В таком случае он коллинеарен векторному произведению [n₁, n₂].n₁ = (2; 1; -5), n₂ = (5; 3; 8), [n₁, n₂] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).

Найдем точку, лежащую на данной прямой, у которой одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда остальные две координаты можно определить из системы уравнений, задающей пересекающиеся плоскости.

Примем для удобства вычислений z = 0, тогда для точки A={х; у; 0}x = -4; y = 11; A = {4; 11; 0}.

Cоставим канонические уравнения данной прямой:.

Ответ: .

Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую k: и точку B = {2; -3; 1}.

Решение:
Так как точка А = {-3,5,-1} принадлежит плоскости, значит вектор AB параллелен плоскости.
Так как данная прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор a = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Значит, нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.

Так как прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор a = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 из уравнений прямой получаем: — координаты точки А, принадлежащей прямой и соответственно плоскости.

Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Значит, нормаль n к плоскости коллинеарна векторному произведению = (-6; -9; -21).
Примем n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:

Ответ: 2x + 3y + 7z – 2 = 0.

Задача 3.Написать уравнение плоскости, которая проходит через три точки с координатами N₁(x₁, y₁, z₁), N₂(x₂, y₂, z₂), N₃(x₃, y₃, z₃).

Решение:
Предположим, что какая нибудь, находящаяся на плоскости точка N, имеет координаты (x, y, z). Для этого случая уравнение плоскости примет вид:
(r-r, a, b) = 0,
гдеr = (x, y, z);r = (x₁, y₁, z₁);
базисные векторы (смотрите рисунок) соответственно равны и .

Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:

Ответ:

Microsoft Math Solver — ГДЗ можно получить без книжек

Бесплатная программа от Майкрософт представлена в магазинах App Store и Google Market. Ее можно загрузить как на телефоны, так и на планшеты.

Приложение включает в себя:

Технологию оптического распознавания текста. Сделайте снимок примера на камеру смартфона и вы получите подробное решение.
Ручной ввод на калькуляторе. Большая библиотека символов позволяет создавать примеры разнообразных уровней сложности.
Пишите на экране смартфона пальцем или стилусом. Алгоритмы Math Solver распознают текст и постараются решить предложенную вами задачу.

Как работать с математическим калькулятором

Клавиша	Обозначение	Пояснение
5	цифры 0-9	Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/-
.	точка (запятая)	Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 – будет записано 0.5
+	знак плюс	Сложение чисел (целые, десятичные дроби)
–	знак минус	Вычитание чисел (целые, десятичные дроби)
÷	знак деления	Деление чисел (целые, десятичные дроби)
х	знак умножения	Умножение чисел (целые, десятичные дроби)
√	корень	Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку “корня” производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2
x2	возведение в квадрат	Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку “возведение в квадрат” производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16
1/_x	дробь	Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число
%	процент	Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка “%”
(	открытая скобка	Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10
)	закрытая скобка	Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки
±	плюс минус	Меняет знак на противоположный
=	равно	Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле “Решение” выводится промежуточные вычисления и результат.
←	удаление символа	Удаляет последний символ
С	сброс	Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение “0”