Вселенная полезных советов 
Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители
Пусть квадратное уравнение имеет вид:
Тогда дискриминант находят по формуле:
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:
Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:
Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:
Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:
Парабола
График параболы задается квадратичной функцией:
При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:
Игрек вершины параболы:
Расчёт определителя
В математике линейной есть два понятия – определитель и детерминант. Определитель – это какое-либо число, которое ставится в соответствии с квадратной матрицей. Определитель используется при решении многих задач. Найти его можно с помощью формулы.
А детерминант находиться с помощью перемножения простых матриц, используются числа только с побочной и главной диагоналях.
Есть вероятность, что произведения матрицы будут значительно отличаться друг от друга. Если индекс чётный, то число будет со знаком плюс, если нечётный, то число будет со знаком минус. Обозначается определитель det А, а круглые скобки меняются на квадратные.
Пример 1
Дано
Решение
Пользуемся свойствам степеней – A^{3}=A^{2}*A
Возведём А в A^{2}
Далее используем свойство степеней
Ответ
Пример 2
Задание
Найдите определитель матрицы А.
Решение
Деление чисел
Итак, немного теории, а затем практика! Что такое деление? Деление – это разбивание на равные части чего-либо. То есть это может быть пакет конфет, который нужно разбить на равные части. Например, в пакетике 9 конфет, а человек которые хотят их получить – три. Тогда нужно разделить эти 9 конфет на трех человек.
Записывается это так: 9:3, ответом будет цифра 3. То есть деление числа 9 на число 3 показывает количество чисел три содержащихся в числе 9. Обратным действием, проверочным, будет умножение. 3*3=9. Верно? Абсолютно.
Итак, рассмотрим пример 12:6. Для начала обозначим имена каждому компоненту примера. 12 – делимое, то есть. число которое делиться на части. 6 – делитель, это число частей, на которое делится делимое. А результатом будет число, имеющее название «частное».
Поделим 12 на 6, ответом будет число 2. Проверить решение можно умножением: 2*6=12. Получается, что число 6 содержится 2 раза в числе 12.
Деление с остатком
Что же такое деление с остатком? Это то же самое деление, только в результате получается не ровное число, как показано выше.
Например, поделим 17 на 5. Так как, наибольшее число, делящееся на 5 до 17 это 15, то ответом будет 3 и остаток 2, а записывается так: 17:5=3(2).
Например, 22:7. Точно так же определяемся максимально число, делящееся на 7 до 22. Это число 21. Ответом тогда будет: 3 и остаток 1. А записывается: 22:7=3(1).
Деление на 3 и 9
Частным случаем деления будет деление на число 3 и число 9. Если вы хотите узнать, делиться ли число на 3 или 9 без остатка, то вам потребуется:
Найти сумму цифр делимого.
Поделить на 3 или 9 (в зависимости от того, что вам нужно).
Если ответ получается без остатка, то и число поделится без остатка.
Например, число 18. Сумма цифр 1+8 = 9. Сумма цифр делится как на 3, так и на 9. Число 18:9=2, 18:3=6. Поделено без остатка.
Например, число 63. Сумма цифр 6+3 = 9. Делится как на 9, так и на 3. 63:9=7, а 63:3=21.Такие операции проводятся с любым числом, чтобы узнать делится ли оно с остатком на 3 или 9, или нет.
Игры на развитие устного счета
Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.
Игра “Быстрый счет”
Игра «быстрый счет» поможет вам усовершенствовать свое мышление. Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ «да» или «нет» на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.
Игра “Быстрое сложение”
Игра «Быстрое сложение» развивает мышление и память. Главная суть игры выбирать цифры, сумма которых равна заданной цифре. В этой игре дана матрица от одного до шестнадцати. Над матрицей написано заданное число, надо выбрать цифры в матрице так, чтобы сумма этих цифр была равна заданной цифре. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.
Игра “Угадай операцию”
Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.
Игра “Математические матрицы”
«Математические матрицы» великолепное упражнение для мозга детей, которое поможет вам развить его мыслительную работу, устный счет, быстрый поиск нужных компонентов, внимательность. Суть игры заключается в том, что игроку предстоит из предложенных 16 чисел найти такую пару, которая в сумме даст данное число, например на картинке ниже данное число «29», а искомая пара «5» и «24».
Игра “Визуальная геометрия”
Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.
Игра “Упрощение”
Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.
«Контрольная работа» — быстрое решение сложных задач онлайн
Быстро и точно примеры может решать сервис «Контрольная работа» www.kontrolnaya-rabota.ru/s. Всё что нужно пользователю — это ввести условие в пустую строку. Сервис удобно использовать на мобильном телефоне через браузер. Или на компьютере во время выполнения домашнего задания.
Чтобы получить большой список калькуляторов для разных условий, на главной странице необходимо выбрать кнопку «Начать сейчас».
Из перечня перед вами можно выбрать:
- Решение уравнений и упрощённых выражений онлайн с возможностью вводить условия;
- Калькулятор для решения неравенств с отображением графиков решения на экране;
- Поиск пределов в сервисе — найдите его для любой функции. Применяются решения по Лопиталю;
- На сайте есть производные функций, графики. Вы сможете построить свой график в пространстве;
- Калькулятор для решения неравенств;
- Доступны практически любые действия с неравенствами: умножение, возведение в степень, ранг матрицы, обратные матрицы и другое;
- На сайте есть возможность решить со своими условиями комплексные числа, геометрическую интерпретацию.
Кроме этого на сайте ещё множество возможностей, связанных с решением математических задач и условий по другим предметам. Можно найти таблицы интегралов, Брадиса, таблицы производных. Примеры из высшей математики и полезные и интересные калькуляторы. Если у вас возникнут трудности, в нижней части списка с возможностями находится подробная инструкция, как пользоваться тем или иным инструментом. Представлено множество текстов, описывающих не только работу калькуляторов и таблиц, но и с рассмотрением конкретных примеров.
Системы линейных уравнений
Пример 9. Метод Крамера
Дано:
Система линейных уравнений
Найти:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.x1, x2, x3— ?
Составляем матрицу B из свободных членов данной системы уравнений — матрицу-столбец свободных членов:
Решаем пример методом Крамера, используя .
Условие Δ ≠ 0 выполняется, значит система совместна и определена, причём единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
Δ1 — 1-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 1-го столбца на столбец свободных членов:
Δ2 — 2-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 2-го столбца на столбец свободных членов:
Δ3 — 3-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 3-го столбца на столбец свободных членов:
Подставив полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:
Ответ: .
Пример 10. Метод Гаусса
Дано:
Система линейных уравнений
Найти:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.x1, x2, x3— ?
Решение:
Составляем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей:
(A|B)=
Приведём расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатому виду.
Из второй строки вычитаем первую строку, умноженную на четыре:
(A|B)~
Из третьей строки вычитаем первую строку, умноженную на два:
(A|B)~
Из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на :
(A|B)~
Полученной диагональной матрице соответствует эквивалентная система:
Ответ: .
Процесс счёта
Вверху представлены 4 кнопки быстрого доступа: к главной странице сайта, профилю пользователя. Также есть возможность включить/отключить звуковые уведомления или перейти к Подробному решению текущего примера.
Вы решаете заданый пример, вводите ответ по частям (целое, числитель, знаменатель) в соответствующие поля с помощью экранной клавиатуры, нажимаете на кнопку ПРОВЕРИТЬ. Если затрудняетесь дать ответ, воспользуйтесь подсказкой. После проверки ответа Вы увидите сообщение либо о правильно введенном ответе, либо об ошибке.
Количество правильных, неправильных ответов и число подсказок можно увидеть в соответствующих индикаторах.
Аналитическая геометрия
Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору .Дано:
Координаты точек: M(2, 5, -3), M1(7, 8, -1) и M2(9, 7, 4).Найти:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору .
Решение:
В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор = {x2-x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x, y, z) перпендикулярно вектору = {A, B, C}, имеет вид .
Составляем уравнение плоскости с нормальным вектором = {2, -1, 5}, проходящей через точку M(2, 5, -3):.
Ответ: .
Пример 17. Уравнение плоскости «в отрезках»
Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость?Дано:
Уравнение плоскости: 2x – 4y + 6z – 12 = 0.Найти:
Отрезки, которые отсекает на осях координат плоскость.a, b, c — ?
Решение:
Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»:
Уравнение — это уравнение плоскости «в отрезках». Параметры представляют собой координаты точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (с точностью до знака) отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях.
Применяя вышеприведенное к уравнению 2x – 4y + 6z –12 = 0, получим:.
Отрезки, отсекаемые на осях, равны a = 6, b =−3, c = 2.
Отрицательный знак перед b показывает, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.
Задачи по теме «Уравнение плоскости в пространстве»
Задача 1. Составить канонические уравнения прямой:
Решение:
Для составления канонического или параметрического уравнения прямой в пространстве, нужно знать координаты какой-либо точки, лежащей на этой на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного прямой.
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к данным плоскостям. В таком случае он коллинеарен векторному произведению [n1, n2].n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).
Найдем точку, лежащую на данной прямой, у которой одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда остальные две координаты можно определить из системы уравнений, задающей пересекающиеся плоскости.
Примем для удобства вычислений z = 0, тогда для точки A={х; у; 0}x = -4; y = 11; A = {4; 11; 0}.
Cоставим канонические уравнения данной прямой:.
Ответ: .
Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую k: и точку B = {2; -3; 1}.
Решение:
Так как точка А = {-3,5,-1} принадлежит плоскости, значит вектор AB параллелен плоскости.
Так как данная прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор a = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Значит, нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.
Так как прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор a = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 из уравнений прямой получаем: — координаты точки А, принадлежащей прямой и соответственно плоскости.
Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Значит, нормаль n к плоскости коллинеарна векторному произведению = (-6; -9; -21).
Примем n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:
Ответ: 2x + 3y + 7z – 2 = 0.
Задача 3.Написать уравнение плоскости, которая проходит через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2(x2, y2, z2), N3(x3, y3, z3).
Решение:
Предположим, что какая нибудь, находящаяся на плоскости точка N, имеет координаты (x, y, z). Для этого случая уравнение плоскости примет вид:
(r-r, a, b) = 0,
гдеr = (x, y, z);r = (x1, y1, z1);
базисные векторы (смотрите рисунок) соответственно равны и .
Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:
Ответ:
Обратная матрица
Обратная матрица схожа с алгоритмом нахождения обратных чисел. К примеру, если умножить матричную таблицу на обратную матрицу, то в итоге мы получаем A*A(-1)=E. Но чтобы перейти уже к нахождению обратной матрицы, нам придётся найти её определитель. Мы рассмотрим самый простой способ – алгебраических дополнений.
Пример 1
Задание
В пример возьмём квадратную матрицу, она находиться с помощью следующей формулы:
, где
-транспортированные матрицы;|А| – определитель.
Рассмотрим самый простейший пример, где размер таблицы 2*2.
Найти обратную матрицу
Решение
Для начала находим определитель матрицы.
Если ответ равен нулю, то обратной матрицы нет! Так как наш ответ равен -2, то всё в порядке. Следующим действием нам нужно будет рассчитать матрицу миронов. Таблица элементов при этом не изменяется. Где прописан нужным нам элемент, нужно вычеркнуть строчку или столбец, оставшееся число и будет являться мироном.
Подставляем числа, возвращаясь к матрица, которая указана выше.
Всегда начинаем с левого верхнего угла и делаем следующее:
← линиями показано, что нужно и как зачеркнуть.
Как итог, у нас остаётся число 4
Теперь мы переходим к нахождению алгебраических дополнений.
Первым делом нужно поменять знаки у двух чисел в мироне.
← подчёркнуты те числа, у которых мы будем менять знаки.
, вот что у нас получилось.
И наконец-то мы переходим к завершающему этапу, к нахождению транспортированной матрице.
, вспоминаем формулу нахождения, и подставляем числовые значения
В завершении желательно проверить правильно ли мы нашли числовую таблицу. Это делать не обязательно, но рекомендуется, чтобы удостовериться в том, то ответ верный.
Пример 2
Задание
Найдите матрицу А.
Решение
Начинаем с определения матрицы.
Дело осталось за малым – осталось начти алгебраическое дополнение матрицы А:
Не забываем записать союзную матрицу:
И уже из неё находим обратную матрицу:
Получаем ответ
Развитие феноменального устного счета
Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше – записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет – НЕ ментальная арифметика.
Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.
Скорочтение за 30 дней
Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.
Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет
Цель курса: развить память и внимание у ребенка так, чтобы ему было легче учиться в школе, чтобы он мог лучше запоминать. После прохождения курса ребенок сможет:
После прохождения курса ребенок сможет:
- В 2-5 раз лучше запоминать тексты, лица, цифры, слова
- Научится запоминать на более длительный срок
- Увеличится скорость воспоминания нужной информации
Супер-память за 30 дней
Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.
Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет
Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.
Деньги и мышление миллионера
Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.
Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.
Формат ввода:
| Действие | Обозначение | Пример | Будет выглядеть |
|---|---|---|---|
| Переменные и знаки | |||
| Сумма (сложение) | N+N | 3+5 | |
| Разность (вычитание) | N-N | 5-3 | |
| Произведение (умножение) | N*N | 4*5 | |
| Частное (деление) | N/N | 8/2 | |
| Дествия с группой чисел | (N) | ((4-2)*(3+5))/2 | |
| Возведение в степень | N^N | (2+3)^3 | |
| Извлечь корень | N^(N/N) | 9^(1/2) | |
| Знак меньше | N<N | x+5 | |
| Знак больше | N>N | 15-x>8 | |
| Знак равно | N=N | x+7=10 | |
| Знак меньше либо равно | N<=N | x+45 | |
| Знак больше либо равно | N>=N | 43-x>=41 | |
| Число π | Pi | 2Pix=10Pi | |
| Экспонента | E | E*(x^2)/2 | |
| Знак бесконечности | inf | 1/inf | |
| Логарифм числа “x” по отношению к “a” | Log | Log+Log | |
| Логарифм натуральный числа “x” | Log | Log | |
| Косинус числа “x” | cos или Cos | cos | |
| Синус числа “x” | sin или Sin | sin | |
| Тангенс числа “x” | tan или Tan | tan | |
| Котангенс числа “x” | cot или Cot | cot | |
| Секанс числа “x” | sec или Sec | sec | |
| Косеканс числа “x” | csc или Csc | csc | |
| Арккосинус числа “x” | ArcCos | ArcCos | |
| Арксинус числа “x” | ArcSin | ArcSin[1/2] | |
| Арктангенс числа “x” | ArcTan | ArcTan | |
| Арккотангенс числа “x” | ArcCot | ArcCot[1/0] | |
| Арксеканс числа “x” | ArcSec | ArcSec | |
| Арккосеканс числа “x” | ArcCsc | ArcCsc | |
| Гиперболический косинус числа “x” | cosh или Cosh | cosh | |
| Гиперболический синус числа “x” | sinh или Sinh | sinh | |
| Гиперболический тангенс числа “x” | tanh или Tanh | tanh | |
| Гиперболический котангенс числа “x” | coth или Coth | coth | |
| Гиперболический секанс числа “x” | sech или Sech | sech | |
| Гиперболический косеканс числа “x” | csch или Csch | csch | |
| Гиперболический арккосинус числа “x” | ArcCosh | ArcCosh | |
| Гиперболический арксинус числа “x” | ArcSinh | ArcSinh | |
| Гиперболический арктангенс числа “x” | ArcTanh | ArcTanh | |
| Гиперболический котангенс числа “x” | ArcCoth | ArcCoth | |
| Гиперболический арксеканс числа “x” | ArcSech | ArcSech | |
| Гиперболический арккосеканс числа “x” | ArcCsch | ArcCsch | |
| Модуль числа “a” | abs | abs+5 |
| Запись различных уравнений | ||
| Линейное уравнение | 2x^2-8x+8=0 | |
| Неравенство | x^3-7>=1 | |
| Система уравнений | 2x-7y=0&&3x+(1/2)y=11 |
| Построить график | ||
| График функции f(x) на отрезке x ∈ | Plot | |
| Несколько графиков на одном | Plot |
| Математический анализ | ||
| Пределы | Limit[n^2/(n^3 + 5*n), n -> Infinity] | |
| Производные | D, x] | |
| D[x^3/y^4), {x,2}] | ||
| Неопределенные интегралы | Integrate/x², x] | |
| Определенные интегралы | Integrate/x^3, {x,1,Infinity}] | |
| Дифференциальные уравнения | x”+x=0 | |
| Задачи Коши | x”+x=0, x=1, x’=3 | |
| Системы дифференциальных уравнений | {x’-y’=2, x’+2y’=-4} |
Геометрия на плоскости (планиметрия)
Пусть имеется произвольный треугольник:
Тогда, сумма углов треугольника:
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:
Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:
Формула Герона для площади треугольника:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности:
Формула медианы:
Свойство биссектрисы:
Формулы биссектрисы:
Основное свойство высот треугольника:
Формула высоты:
Еще одно полезное свойство высот треугольника:
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
Площадь правильного треугольника:
Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c – гипотенуза, a и b – катеты):
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника (h – высота опущенная на гипотенузу):
Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:
Длина средней линии трапеции:
Площадь трапеции:
Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:
Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
Площадь квадрата через длину его стороны:
Площадь квадрата через длину его диагонали:
Площадь ромба (первая формула – через две диагонали, вторая – через длину стороны и угол между сторонами):
Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:
Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):
Свойство касательных:
Свойство хорды:
Теорема о пропорциональных отрезках хорд:
Теорема о касательной и секущей:
Теорема о двух секущих:
Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):
Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):
Свойство центральных углов и хорд:
Свойство центральных углов и секущих:
Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:
Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
Сумма углов n-угольника:
Центральный угол правильного n-угольника:
Площадь правильного n-угольника:
Длина окружности:
Длина дуги окружности:
Площадь круга:
Площадь сектора:
Площадь кольца:
Площадь кругового сегмента:
Падеж — это словоизменительная категория
Термин «падеж» называет грамматическую категорию изменяемых слов русского языка.
В русском языке существуют как изменяемые, так и неизменяемые слова. У изменяемых слов, принадлежащих к именам существительным, прилагательным, числительным и местоимениям, можно указать форму слова, которая соответствует определенному падежу. Исходя из этого, можно дать общее определение грамматической категории падежа:
А вот как определяет, что такое падеж Википедия:
С помощью форм слова связываются друг с другом в определенное сообщение, формируют законченную мысль.
В первой строке записан обычный перечень слов, не связанных друг с другом. Вторая строка с помощью формоизменения слов (падежей) представляет собой предложение, в котором содержится сообщение, законченная мысль.
В русском языке различают шесть падежей, которые представлены ниже в таблице с вопросами и предлогами.
